一、流体力学的数学理论、高精度数值方法及应用

三维不可压Navier-Stokes方程光滑解的整体存在性是千禧年七大数学疑难问题之一。由于Navier-Stokes方程对于气象、海流、管道、飞机机翼等流体动力学建模异常有效，因此对它的研究不仅具有重要的理论意义，而且有广泛的应用价值。

1.流体力学方程的数学理论

突破线积分技巧，利用Brezis-Gallout不等式和压力振荡估计等新思想证明N-S方程D解的衰减性和在没有先验假设下特殊区域内解的刘维尔定理。引入新低频正则性假设，建立可压缩 N-S 方程解在Lp临界空间中的衰减性，克服速度变量“高振荡波”所引起的技术困难。突破系统具有强单调性和群具有紧性的限制，利用斜积半流理论建立非自治系统稳定整体解的对称性和单调性。利用谱分析工具建立 Landau方程和Kac方程在临界空间中解的整体存在性与光滑性，运用Littlewood-Paley分解、Bony仿积分解和Besov空间理论等调和分析工具研究微观方程。

2.CFD中的高精度数值计算

针对流体力学方程组设计简便、实用、鲁棒性强的高精度加权基本无振荡（WENO）算法，突破传统WENO 类方法基于等单元数空间模板构造的限制，简化构造步骤和计算流程，改进传统高精度方法存储量大、计算效率低的不足；在此基础上，设计简便易实施的有限差分/有限体积WENO-ZQ格式，保证间断区域基本无振荡过渡；设计适用于复杂网格体系的高精度有限体积多分辨率WENO格式，提高格式的鲁棒性并降低编程难度；设计适用于间断Galerkin紧致方法的高精度、强稳健、高紧致限制器，对高维问题提高计算效率且适用于任意网格类型。

3.稀薄气体动力学中的高效数值矩方法

针对Hermite数值矩方法框架下获得的逼近玻尔兹曼方程的任意阶双曲矩模型，系统研究稳态问题的高效数值求解算法，发展和完善基于低阶矩模型校正加速收敛技术的多水平迭代法，提高求解高阶矩模型的计算效率，为数值矩方法的实际应用奠定基础；研究具有碰撞积分项、空间非均匀的玻尔兹曼方程在Hermite/Burnett矩展开框架下的高效数值解法，设计保持平衡态性质的、兼顾精度和效率且与位置空间离散相匹配的碰撞项计算方法，为具有复杂碰撞项的玻尔兹曼方程的求解和应用提供新的有竞争力的计算工具。

4.复杂流体动力学模型的高精度能量稳定算法

系统地研究三个两相流相场模型，发展高效的能量稳定算法，将保结构算法理论推广到两相流相场模型，拓展保结构算法的应用范围，验证满足热力学一致性的拟可压两相流相场模型能够准确描述变密度的两相流问题；进一步，研究非周期边界条件下的两相流相场模型，提出一类全离散的线性能量稳定格式，证明格式保持离散的能量耗散结构和唯一可解性；突破低阶的能量稳定算法，为相场模型发展任意高阶的能量稳定算法。

二、数值代数的数学理论与方法

数值代数是科学与工程计算的基础，也是南航计算数学的重点研究方向之一，主要研究内容包括复杂结构设计、分析与控制，计算电磁学医学与图像处理和模式识别等领域出现的矩阵计算问题，对推动结构的响应分析和振动分析、结构模型修正、医学成像和图像处理等领域新技术的发展具有重要的理论意义和应用价值。

1.大型复对称线性方程组的高效预处理迭代法

对结构阻尼系统的响应分析、计算电磁学等领域出现的大规模复对称线性方程组，基于矩阵分裂和松弛技术，构造不精确块预处理子，推导新预处理子的性质、预处理矩阵的谱分布以及预处理矩阵最小多项式次数的上界，提供预处理迭代法的执行技巧；基于拟最小残量，提出求解复对称线性方程组的拟最小残量双共轭A-正交残量方法，并设计改进的预处理Hermitian和skew-Hermitian分裂预处理子加速迭代法的收敛性。

2.多项式特征值问题的数值解法与收缩技术

对粘弹性结构和固流耦合结构的振动分析等领域中出现的多项式特征值问题，分析多项式特征值问题的特征结构和谱性质，提出求解多项式特征值问题的部分正交投影方法；提出求解多项式特征值问题的隐式重启精化部分正交投影方法，解决多项式特征值问题的收缩技术；基于广义Arnoldi过程，提出求解多项式特征值问题带收缩的隐式重启精化广义Arnoldi方法。

3.振动反问题和有限元模型修正中的特征值反问题

对杆结构振动反问题所导出的矩阵特征值反问题，将其等价转化为具有特殊结构Jacobi矩阵的特征值反问题，导出问题有解的条件，并提出求解问题的数值方法；对由不完整的实测数据修正阻尼结构系统有限元模型并保持无溢出的问题，将其建模为谱约束下二次结构矩阵束最佳逼近问题，导出问题有解的条件，提出解决这类问题的数值方法；对二阶振动控制系统的部分极点配置问题，导出问题有解的条件以及参数解的表达式，提出求解这些问题的一些数值方法。

4.反问题与医学图像处理

对多模态数据进行融合与分析，建立多模态的光学成像耦合模型。利用数学物理反问题的数学理论和正则化技术，解决生物医学成像和图像处理中的诸多瓶颈问题，并通过研究深度学习等现代数据处理技术与数学理论的本质联系，建立可解释、泛化性强的成像算法和图像处理技术。对于没有配准对齐的MRI和PET图像，利用多模态联合重建技术提高PET图的信噪比和空间分辨率。

三、偏泛函微分方程和动力系统

微分方程与动力系统在物理、力学、生物数学、自动控制、航空航天、人工神经网络等诸多学科领域得到了广泛的应用。开展偏泛函微分方程理论、应用和动力系统理论、高维非线性力学系统全局动力学等问题的研究，具有重要的实用价值。

1.非光滑偏泛函微分方程的模型建立与动力学

构建由非光滑时滞反应扩散方程描述的几类新模型，推广Filippov理论，突破右端非光滑时滞反应扩散系统的稳定性、周期性、同步性等动力学行为研究的技术瓶颈，揭示时滞空间效应和非光滑特性对种群空间分布、持续生存以及灭绝的影响规律，丰富和发展偏泛函微分方程动力学的研究理论与方法。

2.退化偏泛函微分方程的模型建立与行波解

建立具有Allee效应和⾮光滑反应项的退化扩散或聚集-扩散模型，讨论各类平衡点在存在与稳定性，研究⾏波解、波串解和最小波速等问题，给出⾏波解在有限时间内收敛到零的条件；对于退化-扩散模型，给出⾏波解具有弱特性的等价条件。

3.群作用斜积半流动力学研究

在抽象理论意义下，建立单调斜积半流一致稳定1-覆盖极小集的对称性或单调性；利用群作用理论，研究单调斜积半流1-覆盖极小集的空间结构，证明其对称性或单调性；并应用此抽象理论推导无界区域上非自治反应扩散方程稳定整体解的旋转对称性和时间回复结构中非线性扩散方程稳定行波解的单调性。

4.几类高维非线性力学系统动力学问题研究

研究几类高维力学模型的全局动力学，在主共振、内共振和参数共振等条件下，推导系统存在单脉动同宿轨（异宿轨）、多脉动同宿轨（异宿轨）的充分条件以及系统产生Smale马蹄混沌运动的参数判据；研究一类六维非线性气弹机翼模型的稳定性和分岔问题，分析系统发生颤振和二维环面分岔的参数条件，为避免该类机翼颤振提供理论指导。

四、数值优化理论与应用

随着人工智能、大数据等新兴领域的蓬勃发展，最优化理论与方法的重要性越来越突出，大量实际工程问题最终都可归结为最优化问题。针对实际工程问题，特别是面向国家重大需求的重要问题，发掘问题的本质，建立合适的模型，并发展高效稳定的数值优化方法，这具有重要意义。

1.张量特征值理论与算法

张量特征值问题是张量计算中核心问题，在自动控制、超图理论和信号处理等方面有着重要应用。针对非负张量最大H特征值问题，结合张量的结构特性提出具有三次收敛的算法；针对一类几乎非负不可约张量Z特征值问题，结合半对称张量的性质给出使用Newton法的求解方案。

2.结构型优化

人工智能、工程、管理等诸多领域中的实际问题往往具有特殊结构，如稀疏、低秩、可分性等。针对这些实际问题经过合适的建模将得到结构型优化问题，因而结构型优化的理论与算法在人工智能、工程、管理中具有重要应用。结合学校特色，针对模式识别、飞行器气动优化、交通管理等相关实际问题突破传统方法，充分发掘问题特性建立合适的结构型优化模型，开展结构型优化理论研究，设计结构型优化的数值算法框架，并进行实际应用。

3.组合优化

极值图论和图的亏格问题是现代图论与组合优化研究中的核心内容，在网络理论、理论化学等相关领域具有重要与深刻的应用。研究图的基于距离的结构参数的极值性质，确定这些结构参数与图的基本特征的内在联系，并刻画达到极值的图的结构性质；刻画一般图关于基于离心率的特殊图的嵌入问题，推广距离在极值图论中的应用；研究几类基于离心率的结构参数的比较性质，并刻画使这些性质成立的极值图类；解决图亏格中关于完全图四角剖分的两个公开问题，并形成统一结果。

4.蛋白质结构预测

预测蛋白质结构是非常重要的生物信息学问题。从数学优化的角度建立氨基酸序列折叠成蛋白质结构的数学优化模型，设计高效算法快速求解模型；从数学优化的角度建立范德华力势能作用下的数学优化模型，分别从三向、四向和八向折叠氨基酸链；进一步从数值优化的角度整合HP格点模型和范德华力势能模型，利用整合的模型预测蛋白质结构，使得预测的结构能更稳定并更能满足生物意义。

五、代数密码与信息安全

随着信息和大数据时代的到来，国际上围绕信息的获取、使用和控制的斗争愈演愈烈。信息安全问题全方位地影响我国的政治、军事、经济、文化、社会生活的各个方面，已成为亟待解决、影响国家大局和长远利益的重大关键问题。信息安全的数学基础研究是信息安全研究的核心问题，具有特别重要的理论意义和应用价值。

1.量子信息的数学基础研究

量子行走是利用图的顶点描述量子态，利用量子行走，物理学家和数学家给出了新的高效量子算法。这种算法可以指数级别地快于通常算法，在量子信息处理和量子通信领域有重要的应用。利用薛定谔方程，量子态转移可以用矩阵幂级数表示，证明非交换群上凯莱图存在完美态转移(perfect state transfer， PST)；将非交换群的表示应用到非交换群上凯莱图的PST存在性问题。

2.分布式存储的数学应用研究

随着大数据时代的到来，海量的数据存储难免会产生数据删除、错误，简单的重复备份需要大量的物理内存，为解决这个问题，分布式存储被人们提出并且广泛的应用到实际中；分布式存储能提供一种高效的数据存储模式，是一种可以利用局部节点数据恢复整个数据的方法，成为目前的研究热点；利用代数与组合的工具构造一些优的局部修复码。

3.通信的数学基础研究

码本也称为信号集，新一代的通信要求码本具有较多的码字，较小的相关值。利用代数与组合的工具，定义一种新的特征和，构造一些新的参数的码本，并证明码本的渐近优性。 针对LCD码、自对偶码与MDS码在编码和密码以及通信领域中的应用，系统地给出具有任意维数的Hull的MDS码；利用这些码构造一些新参数的纠缠辅助的量子码。